Fractalen helpen beleggers bij mijden van beursstormen

LEUVEN (tijd) - Benoit Mandelbrot, de 'vader van de fractalen', gebruikt de beroemde wiskundige functies om een meer realistisch beeld van aandelenmarktrisico's te schetsen. De klassieke portefeuilletheorie en haar eenvoudige uitgangspunten verwijst hij grotendeels naar de prullenmand. Die theorie biedt immers geen inzicht in lange perioden van abnormale beursvolatiliteit, zoals we er de voorbije jaren enkele gekend hebben. Mandelbrot wil met zijn fractalen catastrofes helpen te voorkomen.

Benoit Mandelbrot was deze week te gast bij de KU Leuven. De 79-jarige hoogleraar wiskunde van de Yale-universiteit gaf er verschillende lezingen over de fractalen die hem zo beroemd gemaakt hebben en hem heel wat wetenschappelijke onderscheidingen hebben opgeleverd. Zijn naam is bij het grote publiek misschien niet echt bekend, de kleurrijke tekeningen van de naar hem genoemde Mandelbrot-set zijn dat (onbewust) des te meer. De geometrische vormen duiken sinds Mandelbrot ze eind de jaren 70 voor het eerst op zijn computerscherm zag verschijnen op in videoclips, op t-shirts en posters.

Fractalen zijn niet alleen maar spectaculaire tekeningen. Ze hebben ook een hele reeks nieuwe inzichten mogelijk gemaakt in diverse domeinen als fysica, geologie, astronomie en zelfs kunst en muziek. Kenmerkend voor een fractaal is dat de figuur bestaat uit een hele reeks kleinere kopieën van dezelfde figuur. Als je met andere woorden zou inzoomen op de grafiek, zou je hetzelfde patroon op kleinere schaal terugvinden. Die kleinere kopie bevat op haar beurt nog kleinere exemplaren, enzovoort. Je kunt het een beetje vergelijken met de bekende Russische poppetjes.

Fractalen blijken alomtegenwoordig te zijn in de natuur. Bloemkolen, wolken, gebergten, kustlijnen, alle blijken ze een fractaalvorm te hebben. Mandelbrot heeft het in een gesprek met deze krant over 'ruwe' vormen, in tegenstelling tot de 'gladde' vormen. 'De wiskunde en de wetenschap in het algemeen hebben lange tijd enkel oog gehad voor de 'gladde' vormen. 'Ruwe' vormen zijn immers zeer moeilijk te beschrijven. Met mijn fractalen heb ik een basis gelegd van een wetenschap van 'het ruwe'.' De fractalen geven natuurlijk geen exacte weergave van een grillige vorm, maar benaderingen. Dat is echter geen probleem. 'De wetenschap is altijd benaderend. De maan is bijvoorbeeld ook geen perfecte cirkel', aldus Mandelbrot.

Dankzij fractalen kunnen kustlijnen nagebootst worden die niet te onderscheiden zijn van echte kustlijnen. Omgekeerd kan de fractalentheorie gebruikt worden om de lengte van een kustlijn te berekenen. Het is wiskundig mogelijk een oneindig lange kustlijn te bekomen. Voortdurend inzoomen op de kustlijn legt immers steeds meer details en kronkelingen bloot, waardoor de lengte blijft toenemen. Fractalen brachten een oplossing voor dit probleem. Toch kan lang niet alles in fractalen gevat worden. 'Mensen vallen niet met fractalen te beschrijven, maar wel delen van de mens. De longen zijn fractalen, net als sommige gebieden in de hersenen.'

Aan de basis van een fractaal ligt een wiskundige functie. De functie van de beroemdste fractaal - de Mandelbrot-set - ziet er verrassend eenvoudig uit. 'Vroeger dacht men dat een eenvoudige formule een eenvoudige grafiek voortbracht, terwijl voor een complexe figuur een ingewikkelde formule nodig zou zijn', stelt Mandelbrot. Zijn set bewees het tegendeel. Dat de eenvoud van de formule bedrieglijk is, blijkt ook uit de kopbrekens die ze topwiskundigen bezorgt. Sommige zichtbare eigenschappen van de functie zijn nog altijd niet wiskundig bewezen. 'Ik ben zelf niet zo sterk in het uitwerken van bewijzen, maar ik kan wel vragen stellen die mijn collega's jaren doen zweten', zegt Mandelbrot daarover. De bijdrage van Mandelbrot bestond er vooral in dat hij die wat obscure functie waarover wiskundigen zich eerder al hadden gebogen, met behulp van computers wist te visualiseren. Hij ontdekte ook de eigenschappen van de grafiek, zoals het bestaan van eilanden. De in Warschau geboren wetenschapper maakte voor de vertaling van zijn 'mentale beelden' naar computerschermen dankbaar gebruik van de hulp van zijn toenmalige werkgever IBM.

Het is ook Mandelbrots verdienste dat hij zich niet opsloot in de wiskundige wereld, maar zijn bevindingen toepaste op een waaier van disciplines. Mandelbrot ergert er zich dan ook aan dat wetenschappers zich steeds meer specialiseren en niet over de grenzen van hun specifieke domein kijken.

Mandelbrot betrok zijn fractalentheorie zelfs op kunst, en kwam tot de vaststelling dat de Kelten, Leonardo Da Vinci en Salvador Dalí onbewust fractalen gebruikten in hun kunstwerken.

Mandelbrot liet zijn fractalen ook los op de beurs. Met succes, want banken gebruiken sommige van zijn ideeën in hun beursmodellen. De wiskundige vertrok van de vaststelling dat de klassieke portefeuilletheorie berust op weinig realistische veronderstellingen. Zo stelt de klassieke theorie dat koersbewegingen volledig willekeurig zijn: opeenvolgende prijsveranderingen van een aandeel zijn statistisch onafhankelijk van elkaar, zodat voorspellingen onmogelijk zijn. Voorts heeft de verdeling van de prijsveranderingen de vorm van een klok: kleine veranderingen komen vaker voor dan grote schommelingen, en deze volatiliteit is constant over de tijd. Koersgrafieken spreken de assumpties tegen. Zo zijn er perioden waarin de koers van een aandeel sterker schommelt dan anders. De Amerikaanse inval in Irak in de lente van vorig jaar zorgde voor een piek in de beursvolatiliteit. De portefeuilletheorie doet deze gebeurtenissen af als anomalieën die niet in een model gevat kunnen worden. Beleggers die te sterk in deze theorie geloven, lopen volgens Mandelbrot dan ook gevaar.

Mandelbrot kon zich daar niet bij neerleggen en gebruikte fractalen om een model te bouwen dat rekening houdt met de veranderlijke volatiliteit van koersen. Dat impliceert in de eerste plaats dat er fractaalpatronen bestaan in koersgrafieken. Of je nu kijkt naar een tijdsperiode van een dag of een minuut, het statistische patroon van de koersschommelingen is hetzelfde. Op de grafiek geeft de gebroken lijn U - de generator - het ruwe koersverloop van een effect weer tijdens een bepaalde periode. Wanneer elk van de drie lijnstukken op hun beurt worden onderverdeeld in drie stukken (niet getoond op grafiek), verschijnt telkens opnieuw de vorm van de generator, maar dan bij een samengedrukte schaal (tijd- en prijsas ingekort).

Om een model te bekomen dat patronen genereert die alle marktomstandigheden weerspiegelen, moet de unifractaal omgezet worden in multifractalen. Daarbij verandert men de horizontale tijdas, terwijl men de verticale prijsas constant houdt. Op de bijgevoegde grafiek wordt stuk 1 van de generator steeds meer ingedrukt. Dat betekent dat in dit tijdsinterval de marktactiviteit wordt opgedreven (hogere volatiliteit), terwijl ze in stuk 2 net vertraagt. Aanpassingen van de generator kunnen dus een volledige simulatie van de volatiliteit in een bepaalde periode geven.

Mandelbrot zegt niet dat zijn model de toekomstige prijsevolutie kan voorspellen. Hij geeft wel een beter beeld van marktrisico's door de kansen op beursstormen in te schatten. Beleggers kunnen hun portefeuille aan een 'stress-test' onderwerpen en kijken hoe hun beleggingen reageren op de volatiliteitspatronen die de multifractalen op basis van historische marktgegevens blootleggen. Mandelbrot hoopt dat de markt daaruit leert en maatregelen neemt om catastrofes te voorkomen.

Kris VAN HAMME

Lees verder

Advertentie
Advertentie
Advertentie

Gesponsorde inhoud

Gesponsorde inhoud